第181章 用世界级数学难题来检验自己的学习
第181章用世界级数学难题来检验自己的学习
向德利涅教授请了一周的假期后，徐川潜在宿舍中整理着米尔扎哈尼教授留给他的稿纸。
这次整理，就不是粗略的过一遍了。
而是详细的去学习这些稿件中的知识，将其吸收转化成自己的智慧。
一名菲尔兹奖临终前的遗留，尽管只是一部分，也足够一个普通的数学家研究数年甚至是半生了。
对于徐川而言，这些遗留的稿纸中的计算并不是什么珍贵的东西，有数学基础，很多人都能计算推衍出来。
但这些公式与笔迹中遗留的思想和数学方法与路线，却弥足珍贵。
这些东西，哪怕还未成型，仅仅只是一些思路，也是很多数学家终一生都不见得能做出来的成果。
毕竟在所有的自然科学中，若要说依赖天赋的程度，数学无疑是站在金字塔尖的独一档。
哪怕是物理和化学，在依赖天赋的程度上都略逊色于数学。
可以说没有什么其他学科比数学更吃天赋了。
这是一门需要强大逻辑思维才能‘真正’学好的科目。
数学问题往往需要你发挥一定的创造力，从而解决陌生的问题。
如果老师的水平不够，而你又没能自己找到正确的方法和方向，很有可能白努力，越学越崩溃。
不止要有正向思维还要有逆向思维，在每个知识类别都有很多的公式，而这些公式之间却还有着巧妙的联系；记忆、计算、论证、空间、灵活、转变、各种你能在其他科目上找到的技巧几乎全部都会在数学上体现。
很多网友说，被数学支配的恐惧与年龄无关，从小时候自己学习怕，长大后辅导孩子依旧还怕。
也有网友说，人被逼急了什么事都能做得出来，数学题除外。
尽管这只是一些玩笑话，但数学确实是一门没有天赋、无法学好的学科。
或许伱能在大学之前，依靠各种题海战术，名师的讲解拿到高考的满分，但进入大学或者更深入的学习后，你很快就会跟不上节奏。
哪怕花费再多的时间，尽最大努力，也不一定能理解某些数学主题的含义，也无法学习应用那些比高中更复杂的定理和公式。
比如勾股定理，这是进入初中就会学习的东西。
勾三股四弦五。
这是很多人的回忆。
然而很多人也就记住了这一句，这是最常见的勾股数。
但是后面呢？
（5，12，13）（7，24，25）（9，40，41，）2n+1，2n^2+2n，
这些是最最最基础的数学，也不知道还有多少人记得。
恐怕十分之一的人都没有，更别提与勾股数相关联的其他数学公式定理与数据了。
如果在数学上没有天赋，学习起数学来，恐怕会相当痛苦。
那种一堂课掉了一支笔，捡起来后，数学就再也没跟上过节奏的，也不是什么离奇的事情。
宿舍中，徐川一边整理着米尔扎哈尼教授留给他的稿纸，同时也在整理着自己近半年来所学习的一些知识。
“代数几何的一个基本结果是：任意一个代数簇可以分解为不可约代数簇的并。这一分解称为不可缩的，如果任意一个不可约代数簇都不包含在其他代数簇中。”
“而在在构造性代数几何中，上述定理可以通过Ritt-吴特征列方法构造性实现，设S为有理系数n个变量的多项式集合，我们用Zero(S)表示S中多项式在复数域上的公共零点的集合，即代数簇。”
“.”
“如果通过变量重新命名后可以写成如下形式：
A(u，···，uq，y)=Iyd+y的低次项；
A(u，···，uq，y，y2)=Iyd+y的低次项；
······
“Ap(u，···，Uq，y，···，yp)=IpYp+Yp的低次项。”
“.设AS={A1···，Ap}、J为Ai的初式的乘积.对于以上概念，定义SAT(AS)={P|存在正整数n使得JnP∈(AS)}”
稿纸上，徐川用圆珠笔将脑海中的一些知识点重新写了一遍。
今年上半年，他跟随着的德利涅和威腾两位导师，学到了相当多的东西。
特别是在数学领域中的群构、微分方程、代数、代数几何这几块，可以说极大的充实了自己。
而米尔扎哈尼教授留给他的稿纸上，有着一部分微分代数簇相关的知识点，他现在正在整理的就是这方面的知识。
众所周知，代数簇是代数几何里最基本的研究对象。
而在代数几何学上，代数簇是多项式集合的公共零点解的集合。历史上，代数基本定理建立了代数和几何之间的一个联系，它表明在复数域上的单变量的多项式由它的根的集合决定，而根集合是内在的几何对象。
20世纪以来，复数域上代数几何中的超越方法也有重大的进展。
例如，德·拉姆的解析上同调理论，霍奇的调和积分理论的应用，小平邦彦和斯潘塞的变形理论等等。
这使得代数几何的研究可以应用偏微分方程、微分几何、拓扑学等理论。
而这其中，代数几何的核心代数簇也被随之应用到其他领域中，如今的代数簇已经以平行推广到代数微分方程，偏微分方程等领域。
但在代数簇中，依旧有着一些重要的问题没有解决。
其中最关键的两个分别是‘微分代数簇的不可缩分解’和‘差分代数簇的不可约分解’。
尽管Ritt等数学家早在二十世纪三十年代就已经证明：任意一个差分代数簇可以分解为不可约差分代数簇的并。
但是这一结果的构造性算法一直未能给出。
简单的来说，就是数学家们已经知道了结果是对的，却找不到一条可以对这个结果进行验算的路。
这样说虽然有些粗糙，但却是相当合适。
而在米尔扎哈尼教授的稿纸上，徐川看到了这位女菲尔兹奖得主朝这方面努力的一些心得。
应该是受到了此前他在普林斯顿交流会上的影响，米尔扎哈尼教授在尝试给定两个不可约微分升列AS1，AS2，判定SAT(AS1)是否包含SAT(AS2)。
这是‘微分代数簇的不可缩分解’的核心问题。
熟悉了整个稿纸，并且跟随德利涅教授在这方面深入学习过的他，很容易的就理解了米尔扎哈尼教授的想法。
在这个核心问题中，米尔扎哈尼教授提出了一个不算全新却也新颖的想法。
她试图通过构建一个代数群、子群和环面，来进一步做推进。
而建立这些东西所使用的灵感和方法，就来源于他之前在普林斯顿的交流会以及Weyl-Berry猜想的证明论文上。
“很巧妙的方法，或许真的能将代数簇推广到代数微分方程上面去，可能过程会稍微曲折了一点.”
盯着稿纸上的笔迹，徐川眼眸中流露出一丝兴趣，从桌上扯过一张打印纸，手中的圆珠笔在上面记录了起来。
“.微分代数簇的不可缩分解问题从广义上来讲，其实已经被Ritt-吴分解定理包含在内了。”
“但是Ritt-吴分解定理在有限步内构造不可约升列ASk，并构建了诸多的分解，而在这些分解中，有些分支是多余的.要想去掉这些多余分支，就需要计算SAT(AS)的生成基了。”
“.因为归根到底，它最终可降解为Ritt问题。即：A是含有n个变量的不可约微分多项式，判定(0，···，0)是否属于Zero(SAT(A))。”
“.”
手中的圆珠笔，一字一句的将心中的想法铺设在打印纸上。
这是开始解决问题前的基本工作，很多数学教授或者科研人员都有这样的习惯，并不是徐川的独有习惯。
将问题和自己的思路、想法清晰的用笔纸记录下来，然后详细的过一遍，整理一边。
这就像是写小说之前写大纲一样。
它能保证你在完结手中的书籍前，核心剧情都是一直围绕主线来进行的；而不至于离谱到原本是都市文娱文，写着写着就修仙去了。
搞数学比写小说稍稍好一点，数学不怕脑洞，怕的是你没有足够的基础知识和想法。
在数学问题上，偶尔一现的灵感和各种奇思妙想相当重要，一个灵感或者一个想法，有时候就可能解决一个世界难题。
当然，因为错误的想法，而将自己的研究陷入死路的也不少。
放到网文圈，这大抵就是写了一辈子小说，扑了一辈子还是个签约都难的小菜鸟，或者说写了无数本，百万字之前必定蹦书那种。
将脑海中的思路整理出来后，徐川就暂时先放下了手中的圆珠笔。
代数簇相关的东西，仅仅是米尔扎哈尼教授留给他的稿纸上的一部分知识而已。他现在要做的是将这几十张稿纸全都整理出来，而不是一头扎进新的问题研究中。
尽管这个问题挠的他心头有些痒痒，恨不得现在就开始研究，但做事还是得有始有终。
花费了几天的时间，徐川妥善的将米尔扎哈尼教授留给他的稿纸全都整理了出来。
三四十页稿纸，看起来很多，真正的整理完成后，用不到五页纸就记录完整了。
原稿纸上真正精髓的想法和知识点其实并不多，多的是一些米尔扎哈尼教授随笔的计算数据，有用的主体基本都来源于Weyl-Berry猜想的证明论文上使用的方法。
当然，米尔扎哈尼教授的学识肯定不止这点，但两人的交集就这点。
米尔扎哈尼教授能将这些东西遗留给他，徐川心里很感激。
因为这些稿纸，她完全可以留给自己的学生或者后人。
依照这些东西，如果继承者有一定能力的话，是有很大的概率是能继续在这上面做出些成绩出来的。
但米尔扎哈尼教授并没有私心，反而将这些东西送给了他这个仅仅见过一两面的‘陌生人’。
这大抵就是学术界的光辉吧。
将有用的东西整理出来后，徐川小心的将米尔扎哈尼教授留给他的原稿纸收纳起来，放进专门存放重要资料的书柜中。
这些东西，用再尊重的态度去对待都不为过，而且将来回国的时候，他必定会带回去。
处理完这些，徐川重新坐回了桌前。
像德利涅教授请的假还有两天的时间，与其提前回去，不如利用这个时间对‘微分代数簇的不可缩分解’问题做一下尝试。
这个问题的确很难，但是Ritt-吴分解定理已经将相应的微分代数簇分解为不可约微分代数簇，剩下的，就是进一步得到不可缩分解了。
如果在没有得到米尔扎哈尼教授的遗留前，他大抵是不会有朝这方面研究的想法的。
原本他的目标是朗兰兹纲领中的自守形式与自守L函数，但现在，原先的目标稍稍放一下也没有关系。
而且‘微分代数簇的不可缩分解’领域是他今年上半年和德利涅教授学习的数学领域之一。
就用这个问题，来检验一下他的学习成果好了。
想着，徐川嘴角扬起了一抹自信的笑容。
用一个世界级的数学难题，来当做学习成果的检测题，这种话说出去大概率会被其他人当做狂妄自大。
但他有这样的自信。
这不是这辈子学习数学带来的，而是上辈子一路攀登高峰养成的。
从桌上取过一叠稿纸，徐川将之前整理出来的思路又看了一遍，而后沉吟了一下，转动了手中的圆珠笔。
“引入：设k是一个域，假设k是代数闭的，设G是k上的连通约化代数群，设у是G的Borel子群的簇，设B∈у，设T是B的极大环面，设N是G中T的正规化子，设W=N/T是Weyl群.”
“对于任何w∈W，设Gw=Bw˙B，其中W∈N代表W”
“设C∈W，设dC=min(l(W)；w∈C)并设Cmin={w∈C；l(w)=dC}”
“.存在唯一的γ∈G，使得γ∩Gw之类的
每当γJ∈G，γJ∩Gw，有γγJ。且，γ只取决于c”
PS:不知道怎么回事，之前没被审核过，最近连着又被审核了一次，晚上修改检查了好久才重发出来，今天晚上还有一章的。
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向德利涅教授请了一周的假期后，徐川潜在宿舍中整理着米尔扎哈尼教授留给他的稿纸。
这次整理，就不是粗略的过一遍了。
而是详细的去学习这些稿件中的知识，将其吸收转化成自己的智慧。
一名菲尔兹奖临终前的遗留，尽管只是一部分，也足够一个普通的数学家研究数年甚至是半生了。
对于徐川而言，这些遗留的稿纸中的计算并不是什么珍贵的东西，有数学基础，很多人都能计算推衍出来。
但这些公式与笔迹中遗留的思想和数学方法与路线，却弥足珍贵。
这些东西，哪怕还未成型，仅仅只是一些思路，也是很多数学家终一生都不见得能做出来的成果。
毕竟在所有的自然科学中，若要说依赖天赋的程度，数学无疑是站在金字塔尖的独一档。
哪怕是物理和化学，在依赖天赋的程度上都略逊色于数学。
可以说没有什么其他学科比数学更吃天赋了。
这是一门需要强大逻辑思维才能‘真正’学好的科目。
数学问题往往需要你发挥一定的创造力，从而解决陌生的问题。
如果老师的水平不够，而你又没能自己找到正确的方法和方向，很有可能白努力，越学越崩溃。
不止要有正向思维还要有逆向思维，在每个知识类别都有很多的公式，而这些公式之间却还有着巧妙的联系；记忆、计算、论证、空间、灵活、转变、各种你能在其他科目上找到的技巧几乎全部都会在数学上体现。
很多网友说，被数学支配的恐惧与年龄无关，从小时候自己学习怕，长大后辅导孩子依旧还怕。
也有网友说，人被逼急了什么事都能做得出来，数学题除外。
尽管这只是一些玩笑话，但数学确实是一门没有天赋、无法学好的学科。
或许伱能在大学之前，依靠各种题海战术，名师的讲解拿到高考的满分，但进入大学或者更深入的学习后，你很快就会跟不上节奏。
哪怕花费再多的时间，尽最大努力，也不一定能理解某些数学主题的含义，也无法学习应用那些比高中更复杂的定理和公式。
比如勾股定理，这是进入初中就会学习的东西。
勾三股四弦五。
这是很多人的回忆。
然而很多人也就记住了这一句，这是最常见的勾股数。
但是后面呢？
（5，12，13）（7，24，25）（9，40，41，）2n+1，2n^2+2n，
这些是最最最基础的数学，也不知道还有多少人记得。
恐怕十分之一的人都没有，更别提与勾股数相关联的其他数学公式定理与数据了。
如果在数学上没有天赋，学习起数学来，恐怕会相当痛苦。
那种一堂课掉了一支笔，捡起来后，数学就再也没跟上过节奏的，也不是什么离奇的事情。
宿舍中，徐川一边整理着米尔扎哈尼教授留给他的稿纸，同时也在整理着自己近半年来所学习的一些知识。
“代数几何的一个基本结果是：任意一个代数簇可以分解为不可约代数簇的并。这一分解称为不可缩的，如果任意一个不可约代数簇都不包含在其他代数簇中。”
“而在在构造性代数几何中，上述定理可以通过Ritt-吴特征列方法构造性实现，设S为有理系数n个变量的多项式集合，我们用Zero(S)表示S中多项式在复数域上的公共零点的集合，即代数簇。”
“.”
“如果通过变量重新命名后可以写成如下形式：
A(u，···，uq，y)=Iyd+y的低次项；
A(u，···，uq，y，y2)=Iyd+y的低次项；
······
“Ap(u，···，Uq，y，···，yp)=IpYp+Yp的低次项。”
“.设AS={A1···，Ap}、J为Ai的初式的乘积.对于以上概念，定义SAT(AS)={P|存在正整数n使得JnP∈(AS)}”
稿纸上，徐川用圆珠笔将脑海中的一些知识点重新写了一遍。
今年上半年，他跟随着的德利涅和威腾两位导师，学到了相当多的东西。
特别是在数学领域中的群构、微分方程、代数、代数几何这几块，可以说极大的充实了自己。
而米尔扎哈尼教授留给他的稿纸上，有着一部分微分代数簇相关的知识点，他现在正在整理的就是这方面的知识。
众所周知，代数簇是代数几何里最基本的研究对象。
而在代数几何学上，代数簇是多项式集合的公共零点解的集合。历史上，代数基本定理建立了代数和几何之间的一个联系，它表明在复数域上的单变量的多项式由它的根的集合决定，而根集合是内在的几何对象。
20世纪以来，复数域上代数几何中的超越方法也有重大的进展。
例如，德·拉姆的解析上同调理论，霍奇的调和积分理论的应用，小平邦彦和斯潘塞的变形理论等等。
这使得代数几何的研究可以应用偏微分方程、微分几何、拓扑学等理论。
而这其中，代数几何的核心代数簇也被随之应用到其他领域中，如今的代数簇已经以平行推广到代数微分方程，偏微分方程等领域。
但在代数簇中，依旧有着一些重要的问题没有解决。
其中最关键的两个分别是‘微分代数簇的不可缩分解’和‘差分代数簇的不可约分解’。
尽管Ritt等数学家早在二十世纪三十年代就已经证明：任意一个差分代数簇可以分解为不可约差分代数簇的并。
但是这一结果的构造性算法一直未能给出。
简单的来说，就是数学家们已经知道了结果是对的，却找不到一条可以对这个结果进行验算的路。
这样说虽然有些粗糙，但却是相当合适。
而在米尔扎哈尼教授的稿纸上，徐川看到了这位女菲尔兹奖得主朝这方面努力的一些心得。
应该是受到了此前他在普林斯顿交流会上的影响，米尔扎哈尼教授在尝试给定两个不可约微分升列AS1，AS2，判定SAT(AS1)是否包含SAT(AS2)。
这是‘微分代数簇的不可缩分解’的核心问题。
熟悉了整个稿纸，并且跟随德利涅教授在这方面深入学习过的他，很容易的就理解了米尔扎哈尼教授的想法。
在这个核心问题中，米尔扎哈尼教授提出了一个不算全新却也新颖的想法。
她试图通过构建一个代数群、子群和环面，来进一步做推进。
而建立这些东西所使用的灵感和方法，就来源于他之前在普林斯顿的交流会以及Weyl-Berry猜想的证明论文上。
“很巧妙的方法，或许真的能将代数簇推广到代数微分方程上面去，可能过程会稍微曲折了一点.”
盯着稿纸上的笔迹，徐川眼眸中流露出一丝兴趣，从桌上扯过一张打印纸，手中的圆珠笔在上面记录了起来。
“.微分代数簇的不可缩分解问题从广义上来讲，其实已经被Ritt-吴分解定理包含在内了。”
“但是Ritt-吴分解定理在有限步内构造不可约升列ASk，并构建了诸多的分解，而在这些分解中，有些分支是多余的.要想去掉这些多余分支，就需要计算SAT(AS)的生成基了。”
“.因为归根到底，它最终可降解为Ritt问题。即：A是含有n个变量的不可约微分多项式，判定(0，···，0)是否属于Zero(SAT(A))。”
“.”
手中的圆珠笔，一字一句的将心中的想法铺设在打印纸上。
这是开始解决问题前的基本工作，很多数学教授或者科研人员都有这样的习惯，并不是徐川的独有习惯。
将问题和自己的思路、想法清晰的用笔纸记录下来，然后详细的过一遍，整理一边。
这就像是写小说之前写大纲一样。
它能保证你在完结手中的书籍前，核心剧情都是一直围绕主线来进行的；而不至于离谱到原本是都市文娱文，写着写着就修仙去了。
搞数学比写小说稍稍好一点，数学不怕脑洞，怕的是你没有足够的基础知识和想法。
在数学问题上，偶尔一现的灵感和各种奇思妙想相当重要，一个灵感或者一个想法，有时候就可能解决一个世界难题。
当然，因为错误的想法，而将自己的研究陷入死路的也不少。
放到网文圈，这大抵就是写了一辈子小说，扑了一辈子还是个签约都难的小菜鸟，或者说写了无数本，百万字之前必定蹦书那种。
将脑海中的思路整理出来后，徐川就暂时先放下了手中的圆珠笔。
代数簇相关的东西，仅仅是米尔扎哈尼教授留给他的稿纸上的一部分知识而已。他现在要做的是将这几十张稿纸全都整理出来，而不是一头扎进新的问题研究中。
尽管这个问题挠的他心头有些痒痒，恨不得现在就开始研究，但做事还是得有始有终。
花费了几天的时间，徐川妥善的将米尔扎哈尼教授留给他的稿纸全都整理了出来。
三四十页稿纸，看起来很多，真正的整理完成后，用不到五页纸就记录完整了。
原稿纸上真正精髓的想法和知识点其实并不多，多的是一些米尔扎哈尼教授随笔的计算数据，有用的主体基本都来源于Weyl-Berry猜想的证明论文上使用的方法。
当然，米尔扎哈尼教授的学识肯定不止这点，但两人的交集就这点。
米尔扎哈尼教授能将这些东西遗留给他，徐川心里很感激。
因为这些稿纸，她完全可以留给自己的学生或者后人。
依照这些东西，如果继承者有一定能力的话，是有很大的概率是能继续在这上面做出些成绩出来的。
但米尔扎哈尼教授并没有私心，反而将这些东西送给了他这个仅仅见过一两面的‘陌生人’。
这大抵就是学术界的光辉吧。
将有用的东西整理出来后，徐川小心的将米尔扎哈尼教授留给他的原稿纸收纳起来，放进专门存放重要资料的书柜中。
这些东西，用再尊重的态度去对待都不为过，而且将来回国的时候，他必定会带回去。
处理完这些，徐川重新坐回了桌前。
像德利涅教授请的假还有两天的时间，与其提前回去，不如利用这个时间对‘微分代数簇的不可缩分解’问题做一下尝试。
这个问题的确很难，但是Ritt-吴分解定理已经将相应的微分代数簇分解为不可约微分代数簇，剩下的，就是进一步得到不可缩分解了。
如果在没有得到米尔扎哈尼教授的遗留前，他大抵是不会有朝这方面研究的想法的。
原本他的目标是朗兰兹纲领中的自守形式与自守L函数，但现在，原先的目标稍稍放一下也没有关系。
而且‘微分代数簇的不可缩分解’领域是他今年上半年和德利涅教授学习的数学领域之一。
就用这个问题，来检验一下他的学习成果好了。
想着，徐川嘴角扬起了一抹自信的笑容。
用一个世界级的数学难题，来当做学习成果的检测题，这种话说出去大概率会被其他人当做狂妄自大。
但他有这样的自信。
这不是这辈子学习数学带来的，而是上辈子一路攀登高峰养成的。
从桌上取过一叠稿纸，徐川将之前整理出来的思路又看了一遍，而后沉吟了一下，转动了手中的圆珠笔。
“引入：设k是一个域，假设k是代数闭的，设G是k上的连通约化代数群，设у是G的Borel子群的簇，设B∈у，设T是B的极大环面，设N是G中T的正规化子，设W=N/T是Weyl群.”
“对于任何w∈W，设Gw=Bw˙B，其中W∈N代表W”
“设C∈W，设dC=min(l(W)；w∈C)并设Cmin={w∈C；l(w)=dC}”
“.存在唯一的γ∈G，使得γ∩Gw之类的
每当γJ∈G，γJ∩Gw，有γγJ。且，γ只取决于c”
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